web求素数的算法

钟逸 Web 2024-07-24 22:05:58 35

素数是指只能被 1 和自身整除的正整数。在 Web 环境中，由于处理大整数的复杂性，使用传统的素数判断算法并不高效。因此，本文将介绍适用于 Web 的求素数算法。

费马小定理

费马小定理指出，对于任何整数 a 和一个素数 p，a^p mod p = a mod p。利用这一定理，我们可以判断一个数是否为素数：

随机选择一个整数 a，使其 1 < a < p。

计算 a^p-1 mod p。

如果结果为 1，则 p 是素数；否则，p 不是素数。

米勒-拉宾测试

米勒-拉宾测试是一种更准确的素数判定算法，它基于以下定理：

对于任何整数 n，如果存在一个整数 a，使得 n = 2^rd + 1，其中 r 是正整数，d 是奇数，则以下条件等价：
n 为素数。
对于某些 1 ≤ i ≤ r，a^d ≡ 1 (mod n)
对于某些 1 ≤ i ≤ r，a^{d * 2ⁱ} ≡ ?1 (mod n)

基于这个定理，米勒-拉宾测试通过随机选择多个 a 值来判断一个数是否为素数。算法的伪代码如下：


def miller_rabin(n, k):
    if n < 2:
        return False
    if n % 2 == 0:
        return n == 2
    d = n - 1
    r = 0
    while d % 2 == 0:
        r += 1
        d //= 2
    for _ in range(k):
        a = random.randint(1, n-1)
        x = pow(a, d, n)
        if x == 1 or x == n-1:
            continue
        for i in range(r-1):
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n-1:
                break
        else:
            return False
    return True